Question

这道高中函数与导数题感觉很复杂，有哪位数学大神可以帮助我稍加解释，我觉得满意的话可以追加分值

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Answer 1

f(x)=(x-a)²lnx 定义域x∈(0,3e]
∵x∈(0,1) lnx≤0
∴f(x)≤4e² 恒成立
x∈(1,3e]时，lnx>0),可以将不等式变形为：
(x-a)²/4e²≤1/lnx
|x-a|/2e≤1/√lnx
令g(x)=|x-a|/2e≤1/√lnx
即：g₁(x)=(a-x)/2e-1/√lnx 1<x≤a
g₂(x)=(x-a)/2e-1/√lnx a<x
g₁'(x)=-1/2e+√lnx/2xlnx
g₂'(x)=1/2e+√lnx/2xlnx>0 单调递增
g₁(x)驻点：√lnx/2xlnx=1/2e→x=e 为极大值点
∵0<e<3e
∴f(x)在定义域x∈(0,3e]必定存在极大值g₁(e)=(a-e)/2e-1=a/2e-3/2
∵不等式恒成立，端点值也必定满足:
f(3e)=(3e-a)²·ln3e≤4e²→3e-2e/√ln3e≤a≤2e/√ln3e+3e
当a∈[3e-2e/√ln3e,3e]，g(x)包含g₁(x)和g₂(x)段
g₁(x)段：极大值g₁(e)=(a-e)/2e-1=a/2e-3/2≤0
g₂(x)段：单调递增最大值g₂(3e)=(3e-a)/2e-1/√3e≤0
不等式恒成立
当a∈[3e，3e+2e/√ln3e]，g(x)没有g₂(x)段
∵最大值g₁(e)>0 ,不等式不恒成立。
∴a的取值范围a∈[3e-2e/√ln3e,3e]

追问

辛苦了！这真不容易，感谢