Question

用极坐标计算

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Answer 1

　　解：设x=rcosθ，y=rsinθ，则D={(θ,r),0≤θ≤π/2，0≤r≤2acosθ}，
　　∴原式=∫(0,π/2)dθ∫(0,2acosθ)r^3dr=(4a^4)∫(0,π/2)(cosθ)^4dθ=(a^4)∫(0,π/2)(1+cos2θ)^2dθ=(a^4)[3θ/2+sin2θ+(1/8)sin4θ]丨(θ=0,π/2)=(3πa^4)/4。
　　供参考。

追问

r的取值范围是怎么得到的？

追答

　　确定方法一般有画草图，x轴与半圆可以确定；或者，由y=√(2ax-x^2)，可得y^2=2ax-x^2，将x=rcosθ，y=rsinθ代入，有r=2acosθ。∵r=2acosθ≥0，y≥0，且a>0，得出0≤θ≤π/2。供参考。