Question

advanced mathmatics~~~高等数学】3重积分-3，具体该怎么进行演算？

请见图示！图示，表示草稿，老师[桑园~学府考研]课堂演讲的笔记~~但我看啦，等于木有看！老师，讲的如此发散和诗意，我实在接受不了而无法消化~~所以，望得到您的严谨的解答、演算，我好争取直观、形象的理解掉，并记住解题方法！THANKS!

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Answer 1

∮<C> 表示封闭曲线 C 上曲线积分 ，可用格林公式化为二重积分；
∫<L>表示曲线 L 上曲线积分。
∯<∑>表示封闭曲面 ∑ 上曲面积分 ，可用高斯公式化为三重积分；
∫∫<∑>表示曲线 ∑ 上曲面积分。
本题就是补充线段 L0，即 x 轴，此时 y = 0，dy = 0，
使曲线变为封闭曲线，使用格林公式的。
原式 = ∫<L> = ∮<L+L0> - ∫<L0>,
前者用用格林公式化为二重积分，后者 y = 0，dy = 0 代入，
此处 P = e^x siny - b(x+y), Q = e^x cosy - ax
原式 = ∫∫(∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy - ∫<0, 2a>(-bx)dx
= ∫∫(e^x cosy - a - e^x cosy + b) dxdy + b ∫<0, 2a>xdx
= (b-a) ∫∫ dσ + b ∫<0, 2a>xdx (前者用定积分的几何意义）
=(b-a)(πa^2/2) + 2ba^2

追问

xie谢谢老师，倾心倾力的回答！

我重温已经丢到九霄云外的Green's  theorem,并积极思考~~呵呵~~

产生巨量的疑问。当然也可见，我当年学习数学，相当于没有学习，贼惭愧的说！