Question

数列X2n和X2n+1收敛于A，Xn必然也收敛于A！我想问的是X2n X2n+1与Xn都有无穷项！这三个不是一个数列吗？

难道不能根据2n>N | X2n-A |>a（a足够小）推出当n>N | Xn-A |>a（a足够小）?? X2n
与Xn的项都是一样的啊！！（数列X2n每一项为X1 X2 ...Xn...X2n... 数列Xn的每一项为X1 X2 ...Xn...）??

Answer 1

不是同一个数列，{X2n}与{X(2n+1)}只是{Xn}的一部分，称为偶子列，奇子列。

存在N1＞0，使得当n＞N1时，|x2n-A|＜?

存在N2＞0，使得当n＞N2时，|x2n+1-A|＜?

取N=max{2N1，2N2+1}，则当x＞N时，|xn-A|＜?

如果子列{X(3n)}，{X(3n-1)}，{X(3n-2)}的极限都是A，则{Xn}的极限是A。如果子列{X(4n)}，{X(4n-1)}，{X(4n-2)}，{X(4n-3)}的极限都是A，则{Xn}的极限是A。以此类推，可得无数个结论。

函数收敛

定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。

收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。如果给定一个定义在区间i上的函数列，u1(x）， u2（x） ，u3（x）......至un（x）....... 则由这函数列构成的表达式u1（x）+u2（x）+u3（x）+......+un（x）+......⑴称为定义在区间i上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数。

Answer 2

不是同一个数列，{X2n}与{X(2n+1)}只是{Xn}的一部分，称为偶子列，奇子列。

Xn：x1,X2,X3,X4,X5,......
X2n：X2,X4,X6,.......
X(2n-1)：X1,X3,X5,.......

这个结论成立的理由是，{Xn}的极限是A<=>当n充分大时|Xn-A|＜ε，这时候的n要么是偶数要么是奇数，就在{X2n}与{X(2n-1)}中取值，所以只要{X2n}与{X(2n-1)}的极限都是A，就可以保证|Xn-A|＜ε对所有的正整数n成立，保证{Xn}的极限是A。

同理，如果子列{X(3n)}，{X(3n-1)}，{X(3n-2)}的极限都是A，则{Xn}的极限是A。如果子列{X(4n)}，{X(4n-1)}，{X(4n-2)}，{X(4n-3)}的极限都是A，则{Xn}的极限是A。以此类推，可得无数个结论。