Question

请教几道高一数学题

3、求函数y=x2-2ax+3在[-2,2]内的最大值，最小值
4、对任意实数x，不等式2x2-9x+a>0恒成立，求a的取值范围。
5、当x∈（2,3）时，不等式2x2-9x+a<0恒成立，求a的取值范围。

需要详细解题过程，谢谢！

Answer 1

3)
y=x²-2ax+3=(x-a)²+(3-a²)
函数图象的对称轴是x=a
因为a的值未知，故对其讨论
（1）a<-2时
x=-2函数取最小值，f(-2)=7+4a
x=2函数取最大值，f(2)=7-4a
函数值域是：[7+4a,7-4a]
（2）-2≤a<0时
x=a函数取最小值，f(a)=3-a²
x=2函数取最大值，f(2)=7-4a
函数值域是：[3-a²,7-4a]
（3）a=0时
x=0函数取最小值，f(0)=3
x=±2函数取最大值，f(±2)=7
函数值域是：[3,7]
（4）0<a≤2时
x=a函数取最小值，f(a)=3-a²
x=-2函数取最大值，f(-2)=7+4a
函数值域是：[3-a²,7+4a]
（5）a>2时
x=2函数取最小值，f(2)=7-4a
x=-2函数取最大值，f(-2)=7+4a
函数值域是：[7-4a,7+4a]

4)2x2-9x+a>0恒成立
那么方程2x2-9x+a=0没有实数解
则△=81-8a<0
a>81/8

5)当x∈(2,3)时，不等式2x²-9x+a<0恒成立
即a<-(2x^2-9x)恒成立.
f(x)=-2x^2+9x=-2(x-9/4)^2+81/8
对称轴x=9/4,开口向下.
2<x<3时,f(x)的最大值=f(9/4)=81/8,最小值=f(2)=-2*4+18=10
所以,a的范围是a<=10.

Answer 2

3、需要对a分类讨论
此函数的对称轴为x=a
当a大于等于2时，x=2时得到函数的最小值7-4a
x=-2时得到函数最大值7+4a
当a小于等于-2时，x=2时得到函数的最大值7-4a
x=-2时得到函数的最小值7+4a
当a介于-2与2之间时，x=a得到函数最小值

最大值还要对a进行进一步细分
a大于等于-2小于等于0时x=2得到最大值
a大于0小于等于2时x=-2得到最大值

4、此不等式对应的一元二次函数为
f（x）=2*x^2-9x+a
△小于0时函数与x轴没有交点，又因为二次项系数大于0，所以此时不等式恒成立
解得a〉81/8
5、此不等式对应的一元二次函数为
f（x）=2*x^2-9x+a
对称抽为x=9/4介于2和3之间
所以原不等式恒成立的条件为
f(2)小于0，f（3）小于0且f(9/4)也小于0
解之得a小于9

Answer 3

第3题楼上的思路是对的，过程没看
后面两题还有别的方法
4. 2x^2-9x+a>0 则a>9x-2x^2 设y=9x-2x^2
则y=-2(x-9/4)^2+81/8，当x=9/4时有最大值
所以a>81/8时，该不等式恒成立

5. 2x^2-9x+a>0 则a>9x-2x^2 设y=9x-2x^2
则y=-2(x-9/4)^2+81/8
因为方程曲线开口向下，根据曲线图形可知此时当
x=2(y=-10)或x=3（y=-9）时可取到最小值
故，当a<-10时，该不等式恒成立

Answer 4

3.
首先配平 y=x²-2ax+3=(x-a)²+(3-a²)
可以看出函数图象的对称轴是x=a
（1）a<=-2时
x=-2函数取最小值，f(-2)=7+4a
x=2函数取最大值，f(2)=7-4a
函数值域是：[7+4a,7-4a]
（2）-2<a<0时
x=a函数取最小值，f(a)=3-a²
x=2函数取最大值，f(2)=7-4a
函数值域是：[3-a²,7-4a]
（3）a=0时
x=0函数取最小值，f(0)=3
x=±2函数取最大值，f(±2)=7
函数值域是：[3,7]
（4）0<a≤2时
x=a函数取最小值，f(a)=3-a²
x=-2函数取最大值，f(-2)=7+4a
函数值域是：[3-a²,7+4a]
（5）a>2时
x=2函数取最小值，f(2)=7-4a
x=-2函数取最大值，f(-2)=7+4a
函数值域是：[7-4a,7+4a]

4.
2x2-9x+a>0恒成立
因为它代表开口向上的抛物线，题意就是方程2x2-9x+a=0没有实数解
则△=81-8a<0
a>81/8

5.
当x∈(2,3)时，不等式2x²-9x+a<0恒成立
也就是说a<-(2x^2-9x)恒成立.
令f(x)=-2x^2+9x=-2(x-9/4)^2+81/8那么只要使a小于f(x)的最大值就OK
f（x）的对称轴x=9/4,开口向下.
2<x<3时,f(x)的最大值=f(9/4)=81/8,最小值=f(2)=-2*4+18=10
所以,a的范围是a<=10