Question

范德蒙德公式怎么用？得出的结论是什么意思？求大神解释下。

Answer 1

范德蒙行列式的标准形式为：即n阶范德蒙行列式等于这个数的所有可能的差的乘积。根据范德蒙行列式的特点，可以将所给行列式化为范德蒙德行列式，然后利用其结果计算。
范德蒙行列式就是在求线形递归方程通解的时候计算的行列式.若递归方程的n个解为a1,a2,a3,...,an

共n行n列用数学归纳法. 当n=2时范德蒙德行列式D2=x2-x1范德蒙德行列式成立 现假设范德蒙德行列式对n-1阶也成立,对于n阶有: 首先要把Dn降阶,从第n列起用后一列减去前一列的x1倍,然后按第一行进行展开,就有Dn=(x2-x1)(x3-x1)...(xn-x1)∏ (xi-xj)（其中∏ 表示连乘符号,其下标i,j的取值为n>=i>j>=2）于是就有Dn=∏ (xi-xj)(下标i,j的取值为n>=i>j>=1),原命题得证.
注明：Dn≠（x2-x1)(x3-x1)...(xn-x1)Dn-1
范德蒙德行列式的标准形式为:即n阶范德蒙行列式等于这个数的所有可能的差的乘积。根据范德蒙德行列式的特点,可以将所给行列式化为范德蒙德行列式,然后利用其结果计算。常见的方法有以下几种。1利用加边法转化为范德蒙行列式例1:计算n阶行列式分析:行列式与范德蒙行列式比较。
例：
缺行的类似范德蒙行列式
1 1 1 1
a b c d
a^2 b^2 c^2 d^2
a^4 b^4 c^4 d^4

Answer 2

是二项式定理中的范德蒙德卷积公式吗？

如果是的话，其表示为C(r+s,n)=sigma(C(r,n-k)C(s,k)) , k=0~n

意义是在r+s个数中选取n个数，可以分别在r与s中选择。

枚举r和s中分别选择的个数方案k,对于每个确定的k将r和s的方案数相乘，最后相加得到总方案数。

此恒等式可证明一系列恒等式：

例一

例一证明

例二

此三图来自网络