Question

数学难题，初中数学，23题

Answer 1

因：
AB平行DC；AO=CO；EF垂直于AC；
所以：
角OAE=角OCF；AO=CO；角AOE=角COF=90°
所以：
三角形AOE全等于三角形COF；AE=CF
所以：OE=OF
因：
三角形AOE于三角形AOF中AO=AO；角AOE=角AOF=90°；OE=OF
所以：
三角形AOE全等于三角形AOF
因：
AE=CF=AF=CE
所以四边形AECF为菱形

菱形AECF的面积S=AO乘OF乘4
因：OF/AO=2/5；EF=4；OF=2
所以：AO=5OF/2=5
S=5X2X4=40

Answer 2

【解答】
(1)证明
方法1
∵AB∥DC
∴∠1=∠2．
在△CFO和△AEO中,∠1=∠2∠FOC=∠EOAOC=OA
∴△CFO≌△AEO．
∴OF=OE
又∵OA=OC
∴四边形AECF是平行四边形．
∵EF⊥AC
∴四边形AECF是菱形．
方法2：证△AEO≌△CFO同方法1
∴CF=AE
∵CF∥AE
∴四边形AFCE是平行四边形．
∵OA=OC,EF⊥AC
∴EF是AC的垂直平分线
∴AF=CF
∴四边形AECF是菱形．
（2）∵四边形AECF是菱形,EF=4
∴OE=1/2EF=1/2×4=2．
在Rt△AEO中
∵tan∠OAE=OEOA=25
∴OA=5
∴AC=2AO=2×5=10．
∴S菱形AECF=1/2EF•AC=1/2×4×10=20．

Answer 3

如图

Answer 4

（1）证明：
∵ AB∥DC
∴ ∠FCO=∠EAO
又∵ O为AC的中点
∴ AO=CO
又 ∵EF⊥AC
∴ ∠AOE=∠COF=90º
在△AOE与△COF中，
∠FCO=∠EAO
AO=CO
∠AOE=∠COF
∴△AOE≌△COF
∴ EO=FO
∴ O点同时平分EF、AC
又 ∵EF⊥AC
∴ 四边形AECF为菱形
（2）EF=4
∴ OF=OE=2
OF∶OA=2∶5
∴ OA=OC=5
∴ AC=10
∴四边形AECF=EF*AC/2=4*10/2=20

Answer 5

先证明△FOC≌△EOA，得到FO=EO，于是对角线互相平分垂直的四边形是菱形
◇AECF的面积=EF*AC/2=4*5*2/2=20