求教一道关于矩阵的证明题。
A是n阶矩阵，且A^k=0。求证：（E-A）^(-1)=E+A+A^2+...+A^(k-1)麻烦把过程写一下，谢谢。...
A是n阶矩阵，且A^k=0。求证：（E-A）^(-1) = E+A+A^2+...+A^(k-1)
麻烦把过程写一下，谢谢。 展开
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[E+A+A^2+...+A^(k-1)](E-A)
=E[E+A+A^2+...+A^(k-1)]-[E+A+A^2+...+A^(k-1)]A
=E+A+A^2+...+A^(k-1)-[A+A^2+...+A^(k-1)+A^k]
=E-A^k=E
所以E+A+A^2+...+A^(k-1)=(E-A)^(-1)
=E[E+A+A^2+...+A^(k-1)]-[E+A+A^2+...+A^(k-1)]A
=E+A+A^2+...+A^(k-1)-[A+A^2+...+A^(k-1)+A^k]
=E-A^k=E
所以E+A+A^2+...+A^(k-1)=(E-A)^(-1)
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