Question

已知函数f(x)＝ax-lnx(a∈R) (1)若x∈(0，1]时f(e*1/x)≥0恒成立，求a

已知函数f(x)＝ax-lnx(a∈R)
(1)若x∈(0，1]时f(e*1/x)≥0恒成立，求a的取值范围

Answer 1

(0，1/e)
解：
g(x)
=f(e/x)
=a(e/x)-ln(e/x)
=ae/x-1+lnx
g'(x)
=-ae/x²+1/x1-
=(x-ae)/x²
(1) 当a<0时，g'(x)>0，g(x)单调递增
∴ g(x)_min趋于-∞
∴ g(x)≥0在(0，1]上不成立
∴ a<0不符合题意
(2) 0<ae<1即a<1/e时，
0<x<ae时，g'(x)<0，g(x)单调递减；
x=ae时，g'(x)=0；
x>ae时，g'(x)>0，g(x)单调递增；
于是，可得：
g(x)在x=ae处取得极小值同时也是最小值
g_min
=g(ae)
=1-lna
≥0
∴ 0<a<1
∴ 0<a<1/e
(3) ae≥1即a≥1/e时，g'(x)<0，g(x)单调递减
∴ g(x)_max趋于-∞
∴ g(x)≥0在(0，1]上不成立
∴ a≥1/e不符合题意
综上， 0<a<1/e
即，a的取值范围是(0，1/e)

Answer 2

先求此函数的单调区间

追答

答案为a≥－e