Question

证明，单调数列有一收敛子数列，则数列必收敛。求解

证明，单调数列有一收敛子数列，则数列必收敛。求解有答案，但是看不懂。希望各位帮我解释下，尤其是当n＞N时之后的xn与y1的关系不太懂，之后怎么就得到xn在A，B以里了？谢谢

Answer 1

证明：

假设数列an收敛于实数A和实数B，其中A≠B，不妨假设A0，使得对于任意的n≥N，总有 

|an-A|

取e=(B-A)/2，那么对于任意的n≥N，必有|an-A|<(B-A)/2即A-(B-A)/2 

即(3A-B)/2 

因此 (3A-B)/2-B 

即 3(A-B)/2 

由于A 因此an-B<(A-B)/2<0对于任意的n≥N成立。

即|an-B|>|A-B|/2对于任意的n≥N成立。

因此存在一个e'=|A-B|/2>0，使得对于任意的N'>0，总会有更大的N''>N且N>N'，使得

对于任意的n≥N''，总是不满足|an-B|

根据数列极限的e-N定义法，数列an不收敛于B。

归谬完毕。

Answer 2

不好意思，弄错了。编辑掉……

追问

为什么？

追答

不好意思，我弄错了。
这个结论是对的。

子数列极限存在，则数列有界。

单调有界必有极限。

追问

这个结论我是知道的，我是看不明白我贴图里的那个答案的证明过程，为什么n>N时有那个xn在A，B之间？

追答

那个解析有点牵强。

可以用反证法：
不妨n>N时，某个xn超出AB范围，那么由单调性，排在它后面的yn，必然也超过。
你自己想想怎么组织语言。