Question

一道八年级数学题

如图所示，A,B是直线l同侧的两点，且点A和B到l的距离分别为4.5和10.5，且垂足C，D间的距离C，D间的距离为8，若点P是l上一点，则PA+PB的最小值是_________，AB=____________。
给讲一下，谢谢

Answer 1

根据我做的辅助线   PA+PB最小的时候即是P  A  B在一条线上的时候

此时根据勾股定理   PA+PB=AB=√[8²+（10.5+4.5)²]=√289=17

AB=√[8²+（10.5-4.5)²]=10

Answer 2

延长AC至A'，使A'C=AC；连接A'B交l于M，则M即为符合条件的P点所在的位置。

证明：
因为AC=A'C,CD垂直于AA'，所以CD是AA'的垂直平分线，根据中垂线定理，可得PA'=PA，所以求PA+PB的最小值，实际上等同于求PA'+PB的最小值；

因为M是A'B与CD的交点，所以MA'+MB=A'B；

而对于不同于M的任意一点P，连接PA'和PB，可以构成三角形PA'B，根据三角形三边关系定理，有PA'+PB>A'B；

所以M是满足PA+PB最小的P点所在的位置。

接下来求AB的长度就很简单啦！用勾股定理就好：AB^2=CD^2+(A'C+BD)^2，解得：AB=17

你作B关于l的对称点B'可以得到同样的结论，你可以试着推理一下温习理解一下这个推导过程。

Answer 3

解：作AM⊥BD于M则AM=CD=8 BM=BD-AC=6
AB=10
延长AC到E使CE=AC连BE交CD于P 点P即为所作
根据对称性 AP=PE PA+PB=BE
作EF//CD交BD的延长线于F FD=CE=AC=4.5 BF=15 EF=8
BE=17
PA+PB的最小值是17

Answer 4

作A点关于直线AC的对称点A'
连接A'B交CD于P
则此点即为使PA+PB最小的点（两点之间线段最短）
根据勾股定理可求得
A'B^2=CD^2+(AC^2+BD^2)
PA+PB=A'B=17
过A作AE垂直于BD,垂足为E
AB^2=AE^2+BE^2
AE=CD,BE=BD-AC
可得AB=10

Answer 5

把A B中的一个映射到直线令一边 两点之间线段最短