一道八年级数学题
如图所示,A,B是直线l同侧的两点,且点A和B到l的距离分别为4.5和10.5,且垂足C,D间的距离C,D间的距离为8,若点P是l上一点,则PA+PB的最小值是_____...
如图所示,A,B是直线l同侧的两点,且点A和B到l的距离分别为4.5和10.5,且垂足C,D间的距离C,D间的距离为8,若点P是l上一点,则PA+PB的最小值是_________,AB=____________。
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延长AC至A',使A'C=AC;连接A'B交l于M,则M即为符合条件的P点所在的位置。
证明:
因为AC=A'C,CD垂直于AA',所以CD是AA'的垂直平分线,根据中垂线定理,可得PA'=PA,所以求PA+PB的最小值,实际上等同于求PA'+PB的最小值;
因为M是A'B与CD的交点,所以MA'+MB=A'B;
而对于不同于M的任意一点P,连接PA'和PB,可以构成三角形PA'B,根据三角形三边关系定理,有PA'+PB>A'B;
所以M是满足PA+PB最小的P点所在的位置。
接下来求AB的长度就很简单啦!用勾股定理就好:AB^2=CD^2+(A'C+BD)^2,解得:AB=17
你作B关于l的对称点B'可以得到同样的结论,你可以试着推理一下温习理解一下这个推导过程。
证明:
因为AC=A'C,CD垂直于AA',所以CD是AA'的垂直平分线,根据中垂线定理,可得PA'=PA,所以求PA+PB的最小值,实际上等同于求PA'+PB的最小值;
因为M是A'B与CD的交点,所以MA'+MB=A'B;
而对于不同于M的任意一点P,连接PA'和PB,可以构成三角形PA'B,根据三角形三边关系定理,有PA'+PB>A'B;
所以M是满足PA+PB最小的P点所在的位置。
接下来求AB的长度就很简单啦!用勾股定理就好:AB^2=CD^2+(A'C+BD)^2,解得:AB=17
你作B关于l的对称点B'可以得到同样的结论,你可以试着推理一下温习理解一下这个推导过程。
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解:作AM⊥BD于M则AM=CD=8 BM=BD-AC=6
AB=10
延长AC到E使CE=AC连BE交CD于P 点P即为所作
根据对称性 AP=PE PA+PB=BE
作EF//CD交BD的延长线于F FD=CE=AC=4.5 BF=15 EF=8
BE=17
PA+PB的最小值是17
AB=10
延长AC到E使CE=AC连BE交CD于P 点P即为所作
根据对称性 AP=PE PA+PB=BE
作EF//CD交BD的延长线于F FD=CE=AC=4.5 BF=15 EF=8
BE=17
PA+PB的最小值是17
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作A点关于直线AC的对称点A'
连接A'B交CD于P
则此点即为使PA+PB最小的点(两点之间线段最短)
根据勾股定理可求得
A'B^2=CD^2+(AC^2+BD^2)
PA+PB=A'B=17
过A作AE垂直于BD,垂足为E
AB^2=AE^2+BE^2
AE=CD,BE=BD-AC
可得AB=10
连接A'B交CD于P
则此点即为使PA+PB最小的点(两点之间线段最短)
根据勾股定理可求得
A'B^2=CD^2+(AC^2+BD^2)
PA+PB=A'B=17
过A作AE垂直于BD,垂足为E
AB^2=AE^2+BE^2
AE=CD,BE=BD-AC
可得AB=10
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把A B中的一个映射到直线令一边 两点之间线段最短
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