Question

任意向量空间都有基

Answer 1

不是
.
一个反例是,用Q表示有理数域,考虑可数个 Q 的copy 的直积,
V = Q ×Q×.
用 e_i 表示只有第i坐标为1,其余都是零的 V 的元.那么
{e_i ,i =1,2,.}
是V的一个线性无关的子集,但不是V的基.例如元素
(1,1,1,1,1,1.)
不能写成{e_i}的线性组合.事实上{e_i}在V中生成的子空间是Q的可数重直和
Q⊕Q⊕.
它是V的一个真(proper)子空间.
(注记)
1) 无穷维的向量空间已有研究,在泛函分析中很常见.但是我没有学过.
2) 上面的V的维数其实已经大于"可数势",所以显然V的可数子集 {e_i ,i =1,2,.} 不是基.
但是即使我们从V中取到线性无关的子集X,使它的势与dim(V)相等,仍然不能结论X是基.例如,选定无穷维向量空间 V 的一个基 B ,因为 B 是无穷集合,可以取到一个与 B 等势的真子集 B' ,但是 B' 一定不是V的基.

Answer 2

引用杨柳风83的回答：
不是
.
一个反例是,用Q表示有理数域,考虑可数个 Q 的copy 的直积,
V = Q ×Q×.
用 e_i 表示只有第i坐标为1,其余都是零的 V 的元.那么
{e_i ,i =1,2,.}
是V的一个线性无关的子集,但不是V的基.例如元素
(1,1,1,1,1,1.)
不能写成{e_i}的线性组合.事实上{e_i}在V中生成的子空间是Q的可数重直和
Q⊕Q⊕.
它是V的一个真(proper)子空间.
(注记)
1) 无穷维的向量空间已有研究,在泛函分析中很常见.但是我没有学过.
2) 上面的V的维数其实已经大于"可数势",所以显然V的可数子集 {e_i ,i =1,2,.} 不是基.
但是即使我们从V中取到线性无关的子集X,使它的势与dim(V)相等,仍然不能结论X是基.例如,选定无穷维向量空间 V 的一个基 B ,因为 B 是无穷集合,可以取到一个与 B 等势的真子集 B' ,但是 B' 一定不是V的基.

你这不叫反例，没找到不代表不存在。实际上对非零向量空间，任取一个非零向量既可组一个线性无关组。这样我们作一个该向量空间所有线性无关组的集合，以包含关系为其上序关系而得到一个偏序集，然后检验对任一链，其并仍为线性无关组。这就满足了Zorn引理的条件，使用Zorn引理既得存在一个极大元，既极大线性无关组。当然这只是存在性证明，事实上还没有构造性证明，但这个结果很重要，很多定理是要用这个结论的，也就是设基为什么什么，然后进行讨论。