Question

不定积分1/√（x^2-1）dx怎么求？

Answer 1

因为被积函数是偶函数，所以最后得到的原函数必定是奇函数。根据对称性，这里首先考虑x>0时的情况。

根据三角函数的基本关系，设x=csc u=1/sin u，因为x>1，所以令u∈(0,π/2)。

那么dx=-cos udu/sin² u，

sqrt(x^2-1)=sqrt(1/sin² u-1)=cot u=1/tan u，

所以原来的积分=∫1/tan u*(-cos u/sin² u)du=-∫cos u/(tan u*sin² u)du

=-∫cos²u/sin³u du

接下来的部分见下图：

设t=cos u，那么t=sqrt(1-sin²u)=sqrt(1-1/x²)=sqrt(x²-1)/x。

因为

所以原来的积分为

把t=sqrt(x²-1)/x代入得到

这是x＞0时候的情况。

当x<0时，-x>0，因此

原函数在-x处的函数值为

根据奇函数的特点，可知当x<0时的函数值为