Question

问几道高一数学题O(∩_∩)O~

（1+tan1°）（1+tan2°）…（1+tan44°）=？

在△ABC中，若B=60°，则cosAcosC的取值范围为 【 】
A[-1.，1] B[-1/2,1/2] C.[-1/4,3/4] D.(-1/2,1/4]

若3(sinA)^2+2(sinB)^2=2sinA,则(sinA)^2+(sinB)^2的取值范围是 【 】
A(-3/2,1/2] B[0,4/9] C[0,1/2] D[0,1/4]

Answer 1

1、先证明一个公式，
若A+B=45度，则（1+tanA)(1+tanB)=1+(tanA+tanB)+tanA*tanB
=1+tan(A+B)(1-tanAtanB)+tanA*tanB
=1+tan45°（1-tanAtanB）+tanA*tanB
=1+1
=2，
（1+tan1°）（1+tan2°）…（1+tan44°）
=[（1+tan1°）（1+tan44°）]*[（1+tan2°）（1+tan43°）]*......
*[1+tan22°)(1+tan23°)]
=2*2*2......*2=2^22=4194304.
2、cos(A+C)=-cosB=-1/2,
根据积化和差公式，
cosAcosC=（1/2）[cos(A+C)+cos(A-C)]
=(1/2)[-1/2+cos(A-C)]
=-1/4+(1/2)cos(A-C)
|A-C|→120°,cos(A-C)→-1/2
，当A=C时，最大，为1/4，
故应选D。(-1/2,1/4].
3、(sinA)^2+(sinB)^2=[2sinA-(sinA)^2]/2
=-(1-sinA)^2/2+1/2
当1-sinA=0时极大为1/2，sinA=-1时有极小，为-3/2，
故选 A。