Question

帮忙解一下这道题，谢谢

Answer 1

∫√(x²+a²)dx
=x√(x²+a²)-∫xd√(x²+a²)
=x√(x²+a²)-∫x²/√(x²+a²)dx
=x√(x²+a²)-∫(x²+a²-a²)/√(x²+a²)dx
=x√(x²+a²)-∫[√(x²+a²)-a²/√(x²+a²)]dx
移项,得
2∫√(x²+a²)dx=x√(x²+a²)+a²∫1/√(x²+a²)dx
=x√(x²+a²)+a²ln|x+√(x²+a²)|+2c
所以
原式=1/2 x√(x²+a²)+1/2 a²ln|x+√(x²+a²)|+c

或者用变换公式
令x=atanz
dx=asec²z dz
原式=∫asecz*asec²z dz
=∫secz dtanz,a²先省略
=secztanz - ∫tanz dsecz
=secztanz - ∫tanz(secztanz) dz
=secztanz - ∫sec³z dz + ∫secz dz
∵2∫sec³z dz = secztanz + ln|secz + tanz|
∴∫sec³z dz = (1/2)secztanz + (1/2)ln|secz + tanz| + C
原式=(1/2)a²secztanz + (1/2)a²ln|secz + tanz| + C1
=(1/2)x√(a²+x²) + (1/2)a²ln|x + √(a²+x²)| + C2