Question

一道数学题 求详解

长方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长分别为AA1=2 AB=3 AD=4 则顶点A1到直线BD的距离为多少？

Answer 1

先求A到BD的距离，设垂足为E，
则AE=AB*AD/BD=3*4/5=2.4

所以所求距离=A1E=（AA1^2+AE^2)^0.5=(2^2+2.4^2)^0.5=2*(61^0.5)/5

Answer 2

解：易得

BD=√（AD²+AB²）=5

A1B=√（AB²+AA1²）=√13

A1D=√（AD1²+DD1²）=2√5

在△A1BD中

过A1做A1E⊥BD于E

则A1E即为所求

而cos∠BA1D=（A1B²+A1D²-BD²）/（2A1B×A1D）=2/√65

∴sin∠BA1D=8/√65

∴S△BA1D=1/2×A1B×A1D×sin∠BA1D=8

又S△BA1D=1/2×BD×A1E

∴1/2×5×A1E=8

解得A1E=16/5