Question

确定函数定义域

Answer 1

函数定义域
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定义域 指该函数的有效范围，其关于原点对称是指它有效值关于原点对称 。函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合。例如：函数y=2x+1,规定其定义域为-10，10，就是对称的。
中文名
函数定义域
外文名
Domain of a function
学 科
数学
目录
1 简介
2 认识
3 定义域
4 区别值域
5 误区

简介
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f(x）是函数的符号，它代表函数图象上每一个点的纵坐标的数值，因此函数图像上所有点的纵坐标构成一个集合，这个集合就是函数的值域。x是自变量，它代表着函数图象上每一点的横坐标，自变量的取值范围就是函数的定义域。f是对应法则的代表，它可以由f(x）的解析式决定。例如：f(x)=x^2+1,f代表的是把自变量x先平方再加1。x2+1的取值范围（x2+1≥1）就是f(x)=x2+1的值域。如果说你弄清了上述问题，仅仅是对函数f(x）有了一个初步的认识，我们还需要对f(x）有更深刻的了解。

认识
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我们可以从以下几个方面来认识f(x）。
第一：对代数式的认识。每一个代数式它的本质就是一个函数。像x2-1这个代数式，它就是一个函数，其自变量是x，对x的每一个值x2-1都有唯一的值与之对应，所以x2-1的所有值的集合就是这个函数的值域。
第二：对抽象数的认识，对于一个没有具体解析式的抽象函数，由于我们不知道它的具体对应法则也难以知道它的自变、定义域、值域，很难理解它的符号及其意义。
例如：f(x+1）的自变量是什么呢？它的对应法则还是f吗？f(x+1）的自变量是x,它的对应法则不是f。
我们不妨作如下假设，如果f(x)=x²+1，那么f(x+1）=(x+1）²+1,f(x+1）与（x+1）²+1这个代数式相等，即：（x+1）²+1的自变量就是f(x+1）的自变量。（x+1）²+1的对应法则是先把自变量加1再平方，然后再加上1。
再如，f(x）与f(t）是同一个函数吗？
只须列举一个特殊函数说明。
显然，f(x）与f(t）它们的对应法则是相同的，如果x的取值范围与 t的取值范围是相同的，则f(x）与f(t）就是相同的函数，否则，它们就是对应法则相同而定义域不同的函数了。
例：已知f(x+1）=x²+1 ，f(x+1）的定义域为[0，2]，求f(x）解析式和定义域
设x+1=t，则；x=t-1，那么用t表示自变量f的函数为：（也就是把x=t-1代入f(x+1）=x²+1中）
f(t)=f(x+1）=(t-1）²+1
=t²-2t+1+1
=t²-2t+2
所以，f(t)=t²-2t+2， 则f(x)=x²-2x+2
或者用这样的方法——更直观：
令 f(x+1）=x²+1 中的x=x-1，这样就更直观了，把x=x-1代入 f(x+1）=x²+1，那么：
f(x)=f[(x-1）+1]=(x-1）²+1
=x²-2x+1+1
=x²-2x+2
所以，f(x)=x²-2x+2
而f(x）与f(t）必须x与t的取值范围相同，才是相同的函数，
由t=x+1，f(x+1）的定义域为[0，2]，可知道：t∈[1，3]
f(x)=x²-2x+2的定义域为：x∈[1，3]
综上所述，f(x)=x²-2x+2（x∈[1，3]

定义域
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（高中函数定义）设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；
如果一个函数是具体的，它的定义域我们不难理解。但如果一个函数是抽象的，它的定义域就难以捉摸。
例如：y=f(x) 1≤x≤2与y=f(x+1）的定义域相同吗？值域相同吗？如果已知f(x）的定义域是x∈ [1,2]，f(x+1）的定义域是什么？
因为f(x）的定义域是 x ∈ [1,2]，即是说对1≤x≤2中的每一个数值f(x）都有函数值，超出这个范围内的任何一个数值f(x）都没有函数值。例如3就没有函数值，即f⑶就无意义。因此，当x+1的取值超出了[1，2]这个范围，f(x+1）也就没有了函数值，所以f(x+1）的定义域是1≤x+1≤2这个不等式的解集;所以解得0≤x≤1，此时x的定义域为x∈[0,1]（定义域总是指x能取的范围与经过括号内变换后的范围不同）。定义域发生了改变。但是值域还是相同的，因为f进行变换的范围没有改变。
我们还可以通过函数图象来进行理解，f(x+1) 相当于把f(x)向左平移了一个单位，而仍要与原函数结果相同，所以定义域也要向左平移一位。
看是不是同一个函数，既要看对应法则f（），也要看定义域是否相同。如果都相同，值域自然也相同，就能证明是同一个函数。（注意：如果只知值域、对应法则不能推出定义域 如f(x)=x^2 f(x)∈[1,4] x有多种可能）
（是不是统一函数只要看（）前面的字母是不是同一个，注意大小写也要一样才是同一函数）
题目中的“已知函数f(x）”中的x是一个抽象的概念，
x可以代表f（）括号中任意表达式，
如果他的定义域是（a,b）
那么，x+m和x-m的定义域（定义域都是指括号内x的取值范围）都不是（a,b）
就高中课程而言，函数定义域是说函数f（x）中，x的取值范围。
二、求函数的定义域：
求函数的定义域：
y=1/x 分母不等于0;
y=sprx 根号内大于等于0;
y=logaX 对数底数大于0且不等于1，真数大于0；

区别值域
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值域定义
函数中，因变量的取值范围叫做函数的值域，在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合
常用的求值域的方法
（1）化归法；（2）图象法（数形结合）
（3）函数单调性法，
（4）配方法，（5）换元法，（6）反函数法（逆求法），（7）判别式法，（8）复合函数法，（9）三角代换法，（10）基本不等式法等[1]

误区
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关于函数值域误区
定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或淡化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄彼，何况它们二者随时处于互相转化之中（典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化）。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。
“范围”与“值域”相同吗？
“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。“值域”是所有函数值的集合（即集合中每一个元素都是这个函数的取值），而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合（即集合中的元素不一定都满足这个条件）。也就是说：“值域”是一个“范围”，而“范围”却不一定是“值域”。
参考资料

1. 高一数学知识点归纳：函数的定义域 ．高考[引用日期2012-10-20]
词条标签：
语言 ， 理学 ， 文化 ， 数学 ， 学科

函数定义域图册

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定义域

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最近更新：2016-07-28
创建者：sxyjzhaoshaa

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Answer 2

根号下无负数：1-x≥0，x≤1

分母不为零：1+x≠0，x≠-1

∴定义域为：
（-∞，-1），（-1，1】

Answer 3

{x|x<1,x不等于-1}