Question

已知函数f(x)=ax+a/x-3lnx,若f(x)在[1,e]上为单调函数，求实数a的取值范围.

Answer 1

∵f'(x)=（ax²-3x-a)/x²
令 h(x)=ax²-3x-a=a(x-3/2a)²-（9+4a²）/4a
要使 f(x)在[1,e]上为单调函数，只需对 任意的x∈（1，e），都有
f'（x）≥0,或f'(x) ≤0
∵h(1)=-3<0
∴h(e)=ae²-3e-a ≤0, ∴a ≤3e/（e²-1）
当0 ≤a ≤3e/(e²-1)时，h(x) ≤0恒成立即 f'(x) ≤0恒成立。
当a＜0时，x=3/2a＜0＜1，∴h(x)＜h(1)＜0,∴f'(x)＜0恒成立；
综上，当a ≤3e/（e²-1）时，f(x）在[1,e]上为单调函数。