Question

求y=(2X ^2-X+2)/(X^2-X+1)的值域 可以把过程写得详细些吗 谢谢

Answer 1

当x=0时，y=2

当x≠0时：

y=(2X ^2-X+2)/(X^2-X+1)

=[2（x^2-x+1）+x]/(x^2-x+1)

=2+x/(x^2-x+1)

=2+1/(x+1/x-1)

当x>0时，x+1/x≥2，则x+1/x-1≥1，0<1/(x+1/x-1）≤1

此时2<y≤3

当x<0时，x+1/x≤-2，则x+1/x-1≤-3，-1/3≤1/(x+1/x-1）<0

此时5/3≤y<2

综上，y的值域为[5/3,3]

Answer 2

y=(2x^2-x+2)/(x^2-x+1)
=(2(x^2-x+1)+x)/(x^2-x+1)
=2+x/(x^2-x+1)
=2+1/(x+1/x-1）
（i)当x=0时，y=2 (a)
（i)当x>0时
又x+1/x>=2√(x*1/x)=2
因此有
y=2+1/(x+1/x-1）<=2+1/(2-1)=3 (b)

(ii)当x<0时
又(x+1/x)^2=x^2+1/x^2+2>=4
=>x+1/x<=-2
y=2+1/(x+1/x-1)>=2+1/(-2-1)=5/3 （c)

综合（a)(b)(c)=>
y∈【5/3,3】

Answer 3

令x²-x+1=0
得x∈Ø
∴原函数定义域为x∈R

y=(2x²-x+2)/(x²-x+1)
=[2(x²-x+1)+x]/(x²-x+1)
=2+x/(x²-x+1)

①当x=0时，y=2

②当x>0时，y=2+1/(x+1/x-1)
其中x+1/x≥2(当且仅当x=1时取等号)
∴x+1/x-1≥1
∴1/(x+1/x-1)≤1

∴y=2+1/(x+1/x-1)≤3

③当x<0时,y=2+1/(x+1/x-1)
其中x+1/x≤-2(当且仅当x=-1时取等号)
∴x+1/x-1≤-3
∴1/(x+1/x-1)≥-1/3

∴y=2+1/(x+1/x-1)≥5/3

综合①②③，得原函数的值域为x∈[5/3,3]

Answer 4

遇到这类题，一般采用判别式法。
y=(2X ^2-X+2)/(X^2-X+1)， x一定有解，这是判别式的原理。
化简：（y-2)x^2+(1-y)x+y-2=0.
y-2=0时，代入，x=4,
y-2≠0，(1-y)^2-4*(y-2)*(y-2)>=0 =>y∈[5/3,3]