Question

齐次微分方程特解怎么求

Answer 1

特征方程是r³+r²-r-1=0 求得r=-1,-1,1
通解公式是 [C1+C2x]exp(-x)+C3exp(x)
齐次微分方程就是y改为1,y‘改为r,y’改为r² ,y的n阶导数改为r的n次方,即可得特征方程
实际上就是看有没有特解y=exp(rx)
r出现m重根时λ是 特解为 [c1+c2x+...+cm x^(m-1)]exp(λx)
为什么会这样了,按上例说明
可做个变换y=exp(-x)z ,则有z'''-2z''=0 可知z''=0 是符合特解 （还有一个特解z=exp(2x) )
z''=0 可得z=C1+C2x y=(C1+C2x)exp(-x) (还有一个特解z=exp(2x) 可导出特解y=exp(x) )