Question

如图 想问一个微分方程的问题 考研高数

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

这种题目的一种做法是把解带入微分方程，然后两边比较e^(2x)的系数，e^x的系数，系数相等，从中解出α，β，γ，再求这个具体的微分方程的通解，就有固定方法可循了。
常规的做法是利用齐次、非齐次线性方程的解的特点以及通解的结构。
二阶常系数非齐次线性方程的通解是其自身的一个特解与对应齐次线性方程的通解之和。
这个二阶常系数非齐次线性方程的右边是γe^x，所以其特解一定含有e^x，那么解y＝e^(2x)+(1+x)e^x中的e^(2x)就不是非齐次线性方程的解，只能是齐次线性方程的特解，也就是说2是特征方程的一个根。所以y-e^(2x)=(1+x)e^x就是非齐次线性方程的解。
这个非齐次线性方程的特解的假设分为两种情形，当1不是特征方程的根时，设特解是Ae^x，A是常数；当1是特征方程的根时，特解设为Bxe^x，B是常数。
根据以上讨论，以及“(1+x)e^x是非齐次线性方程的解”可知，其中的xe^x是非齐次线性方程的解，且1也是特征方程的根。

Answer 3

因为x·e^x与y=e^2x +(1+x)e^x线性无关，