Question

数学求级数和, ∑(n=1,∝)x^n-1/n2^n

数学求级数和,
∑(n=1,∝)x^n-1/n2^n级数收敛域为[-2,2).设和函数为S(x),则xS(x)=∑(n=1,∝)x^n/n2^n,两端求导,得[s(x)]'=1/(2-x)
上式对x积分：上限x,下限0.
则xS(x)=-ln(2-x)+ln2
x≠0时,S(x)=-(1/x)ln[(1-x)/2)]
x=0时,S(x)=1/2
为什么求导后是s（x）'=1/（2-x）
再定积分出来以后不可以直接等于-In（2-x）

Answer 1

引用巴山蜀水665的回答：
解：设S(x)=∑(1/n)[x^(n-1)]/2^n。求导后，应该是“[xS(x)]'=1/(2-x)”。
过程是，①当x≠0时，有xS(x)=∑(1/n)(x/2)^n。两边对x求导、在丨x/2丨<1时，有[xS(x)]'=(1/2)∑(x/2)^(n-1)=1/(2-x)。∴xS(x)=∫(0,x)dx/(2-x)=-ln(2-x)丨(x=0,x)=ln2-ln(2-x)=-ln(1-x/2)。S(x)=(-1/x)ln(1-x/2)。
②当x=0时，∵在丨x/2丨<1时S(x) ，是连续函数，须“补充”S(x)在x=0处的定义，∴S(0)=lim(x→0)S(x)=lim(x→0)(-1/x)ln(1-x/2)=1/2。
∴综上所述，x=0时，S(x)=1/2、x≠0时，S(x)=(-1/x)ln(1-x/2)，其中丨x/2丨<1。
供参考。

关于S(X)求定积分那一部分有错误

Answer 2

详情如图所示

有任何疑惑，欢迎追问

Answer 3

解：设S(x)=∑(1/n)[x^(n-1)]/2^n。求导后，应该是“[xS(x)]'=1/(2-x)”。
过程是，①当x≠0时，有xS(x)=∑(1/n)(x/2)^n。两边对x求导、在丨x/2丨<1时，有[xS(x)]'=(1/2)∑(x/2)^(n-1)=1/(2-x)。∴xS(x)=∫(0,x)dx/(2-x)=-ln(2-x)丨(x=0,x)=ln2-ln(2-x)=-ln(1-x/2)。S(x)=(-1/x)ln(1-x/2)。
②当x=0时，∵在丨x/2丨<1时S(x) ，是连续函数，须“补充”S(x)在x=0处的定义，∴S(0)=lim(x→0)S(x)=lim(x→0)(-1/x)ln(1-x/2)=1/2。
∴综上所述，x=0时，S(x)=1/2、x≠0时，S(x)=(-1/x)ln(1-x/2)，其中丨x/2丨<1。
供参考。

追问

为什么不能直接积分后就是-In（2-x）？

追答

从积分过程来看，如果取0到x的定积分，则须确定积分后原函数在x=0处的值；如果取不定积分，积分后须加上常数C，再由“通解”求其特解。
故，本题定积分后，原函数“-ln(2-x)”在x∈[0,x]的值是-ln(2-x)+ln2，即不能忽略其在x=0处的值，只保留“-ln(2-x)”。
供参考。