Question

一道导数题

已知函数f(x)=x^3+bx^2+cx的导函数的图像关于直线x=2对称
(1)求b的值
(2)若f(t)在x=t处取得极小值g(t) 求g(t)的定义域和值域

Answer 1

由f(x)=x^3+bx^2+cx得 f’(x)=3x^2+2bx+c 其对称轴为x=-b/3，所以-b/3=2，b=-6.
f(x) 在x=t处取得极小值，
则f'(x)=3x^2-12x+c =0中△=144-12c=12(12-c)>0 所以c<12.
由f’(x)=3x^2-12x+c =0得, x=2±√(4-c/3).
所以 f(x)在x=2+√(4-c/3处取得极小值， 因此t=2+√(4-c/3)，该式可化为c=12-3(t-2)^2，
所以 g(t)=f(t)= t^3-6t^2+ct=
t^3-6t^2+[12-3(t-2)^2]t= -2t^3+6t^2， 其中t∈(2,+∞) 由g(t)=-2t^3+6t^2得 g’(t)= -6t^2+12t=-6t(t-2),
所以t∈(2,+∞) 恒有g’(t)<0， 即g(t)在(2,+∞) 上为减函数，所以g(t)<g(2)=8，
g(t)的值域为（-∞，8)。

祝你学习愉快

Answer 2

（1）
f'(x) = 3x^2 + 2bx + c
图像关于直线x=2对称 -> -(2b)/6 = 2, b = -6.
（2）
由（1）得f’（x）=3x²-12x+c
因为f（x）有最小值，由因为x∈R，所以f（x）只有一个极值点.即△=144-12c=0 c=12
代回去求得极值点为x=2=t
所以g(t)的定义域{2}