Question

高等数学极限题目求过程解释

Answer 1

求微分方程y''+3y'+2y=3xe^(-x)的通解解：先求齐次方程y''+3y'+2y=0的通解：其特征方程r²+3r+2=(r+1)(r+2)=0的根r₁=-1，r₂=-2;故齐次方程的通解为y=c₁e^(-x)+c₂e^(-2x)设其特解y*=(ax²+bx)e^(-x)y*'=(2ax+b)e^(-x)-(ax²+bx)e^(-x)=[-ax²+(2a-b)x+b]e^(-x)y*''=(-2ax+2a-b)e^(-x)-[-ax²+(2a-b)x+b]e^(-x)=[ax²-(4a-b)x+2a-2b]e^(-x)代入原式得：[ax²-(4a-b)x+2a-2b]e^(-x)+3[-ax²+(2a-b)x+b]e^(-x)+2(ax²+bx)e^(-x)=3xe^(-x)化简得(2ax+2a+b)e^(-x)=3xe^(-x)故2a=3,a=3/2;2a+b=3+b=0,b=-3.故y*=[(3/2)x²-3x]e^(-x)于是通解为y=c₁e^(-x)+c₂e^(-2x)+[(3/2)x²-3x]e^(-x)