Question

求解一阶微分方程的初值问题y'=(1-y²)tanx,y(0)=2

Answer 1

简单分析一下，答案如图

Answer 2

这个题可以用分离变量法求解
y`=dy/dx=(1-y²)tanx
∴dy/(1-y²)=tanxdx
两边同时积分有∫dy/(1-y²)=∫tanxdx
左边=1/2∫[1/(1-y)+1/(1+y)]dy=1/2ln|(1+y)/(1-y)|
右边=-ln|cosx|+lnC（这个地方写成lnC是方便后面进行去对数）
=ln|Csecx|
左右两边相等，有1/2ln|(1+y)/(1-y)|=ln(C/|cosx|)
∴ln|(1+y)/(1-y)|=2ln(C/|cosx|)=ln(Csec²x)
两边同时取e次幂有
(1+y)/(1-y)=Csec²x→2/(1-y)=Csec²x+1→y=1-2/(Csec²x+1)
分子分母同时乘以cos²x，再通分有y=1-2cos²x/(C+cos²x)=(C-cos²x)/(C+cos²x)
然后根据初始值，y(0)=(C-1)/(C+1)=2可以知道C=-3
最后y=(3+cos²x)/(3-cos²x)

Answer 3

得闲：y‘=p，上方程p^3-2px+y=0,微分得3p^2(dp/dx)-2xdp/dx-p=0相信这个方程会解了，解上述线性方程可得答案