Question

两道数学题目求解答

1.已知定义域在R上的函数y=f(x)存在反函数f^-1(X),若函数y=f(x+1)的反函数是y=f^-1(x-1),且f(0)=1，则f(12）=？

2.已知函数f(x)=x^4+ax^3+bx^2+ax+1，若函数a,b使得f(x)=0有实根，则a^2+b^2的最小值为？

希望有过程谢谢！

Answer 1

第一题：
y=f^(-1)(x-1)两边求函数有f(y)=x-1,变量互换可得原函数为
f(x)=y-1即y=f(x)+1.
所以y=f(x+1)=f(x)+1,那么f(x+12)=f(x)+12
f(12)=f(0)+12=13.
第二题：
由 x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0 两边同时处以x^2
得到 (x^2+1/x^2)+a(x+1/x)+b=0，
变量代换 令m=x+1/x (|m|≥2)
则 m^2+am+b-2=0
对称轴 x=-a/2.定义域|m|>=2.
然后对称轴在x<=-2,-2<=x<=0,0<=x<=2,x>=2各个区间时讨论函数
f(m)=m^2+am+b-2的最小值让最小值小于等于零，就可以得到一个关于a,b的不等式（每个区间一个）。
根据这个不等式带入a^2+b^2中同样可以构造一个关于a或者b的函数，在分区间讨论求的最小值。
我写个大概思路。。。。这个需要耐心啊。。。。。后面自己求吧。