Question

高中数学第七题和第9题 13题

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Answer 1

7、答案 D。f'(x)=e^x-ae^(-x) ，f'(x)是奇函数，则 f'(-x)=-f'(x)，即 e^(-x)-ae^x=-e^x+ae^(-x) 即 e^(-x)+e^x-a[e^(-x)+e^x]=[e^(-x)+e^x](1-a)=0，因为 e^(-x)>0 且 e^x>0，所以 e^(-x)+e^x>0，所以 要使 [e^(-x)+e^x](1-a)=0 成立，只有 1-a=0 得到 a=1
所以 f(x)=e^x+e^(-x)。现在 k=f'(x)=e^x-e^(-x)=3/2 两边同乘 e^x 去分母得到 (e^x)²-3/2×e^x-1=0 将 e^x 看成作整体，用一元二次方程求根公式,得到 e^x=3/4±√(25/4)/2=3/4±5/4 因为e^x>0，所以取 e^x=3/4+5/4=2 两边取自然对数得 x=ln2
9、答案 C。我们知道，在这个焦点位于 x 轴的椭圆中，a²-b²=c²，即 圆 x²+y²=a²-b²=c² 的半径为 c。又，本题中，两曲线的中心点同时处于原点，椭圆的短半轴为 b，当 c< b时圆与椭圆无交点了【交点就是公共点】，所以 c≥b；同理，当 c>a时也没有公共点，所以 a≥c。综合：b≤c≤a。当c=b时，a²=b²+c²=2c² 得 e=√(c²/a²)=√2/2；当c=a时，a²=c²，则b=0，这里椭圆变成了一条直线，不可，所以 c<a 即 e<c/a=a/a=1 即 e<1 所以 √2/2≤e<1
13、等价于求边长是2√3的正三角形的内切圆半径，易知该正三角形的高【与中线、角平分线三线合一】√[(2√3)²-(√3)²]=√(12-9)=3，内切圆心在三条角平分线交点，即1/3处，即R=3×1/3=1，于是由球的表面积公式 S=4πR²=4π
再做一题 14、作AE⊥BC于点E，则三角形ADE是等腰直角三角形。又，由等腰三角形ABC底边上的高平分底边，知BE=√3，则AE=√(AB²-BE²)=√(4-3)=1=DE，所以 AD=√(1²+1²)=√2

Answer 2

f(x)=2x^3-9ax^2+12a^2x
a=1,则有f(x)=2x^3-9x^2+12x, f'(x)=6x^2-18x+12=6(x^2-3x+2)=6(x-1)*(x-2)
设过原点的切线方程是y=kx.切点坐标是(xo,yo),则有k=yo/xo=6(xo^2-3xo+2)
yo=6(xo^3-3xo^2+2xo)=f(xo)=2xo^3-9xo^2+12xo
解得4xo^3-9xo^2=0
xo^2(4xo-9)=0
xo=0(舍), xo=9/4
yo=2*9^3/64-9*9^2/16+12*9/4=27-729/32=135/32
故切点坐标是(9/4,135/32)
故切线方程是y=135/72 x
2.f'(x)=6x^2-18ax+12a^2=6(x-a)(x-2a)=0
得x1=a,x2=2a
a>0,则有在x<a,x>2a时,f'(x)>0,函数增,在a<x<2a时,f'(x)<0,函数减