Question

高中解析几何

椭圆方程为X^2+3Y^2=6,直线L是y=tan30°x+sin60°。M,N是直线L上的不同两点。以线段MN为直径的圆过左焦点。求MN的最小值，求出对应圆的方程。

Answer 1

以线段MN为直径的圆过左焦点
即MN的中点就为圆心，且该圆心到左焦点的距离为MN的一半，即为半径
求MN的最小值也就是求半径的最小值，也就是求左焦点到直线的最小距离
椭圆为x²/6+y²/2=1
所以左焦点坐标为（-2,0），他到直线y=tan30°x+sin60°的距离为
|-2tan30°+sin60°|/√（tan²30°+1）=1/4
所以MN=2*1/4=1/2
圆心与左焦点构成直线方程为y=-√3（x+2）
它与直线y=tan30°x+sin60°的交点即为圆心
易得圆心为（9/8，7√3/8）
所以圆的方程为（x-9/8）²+（y-7√3/8）²=1/16