Question

此微分方程如何用伯努利方程求解？

此微分方程如何用伯努利方程求解？我把dy和dx颠倒了一下算，后面非常复杂，正确做法是什么呢？

Answer 1

解：
(x²y³+xy)dy=dx
令z=1/x，则dx=-x²dz
代入原方程得 (x²y³+xy)dy=-x²dz
==>dz/dy+y/x=-y³
==>dz/dy+yz=-y³..........(1)
∵方程(1)一阶线性微分方程
∴由一阶线性微分方程通解公式，得
方程(1)的通解是z=Ce^(y²/2)-y²+2 (C是积分常数)
==>1/x=Ce^(y²/2)-y²+2
==>[Ce^(y²/2)-y²+2]x=1
故原方程的通解是[Ce^(y²/2)-y²+2]x=1 (C是积分常数)。

Answer 2

让u=xy，则y=u/x，进行变量代换