Question

帮忙看一下这道题对吗

Answer 1

以前我见同学买过，和一般的教辅资料一样，只是广告做的很神。高中学习最主要的是对一本资料学透，切记贪多。还要勤奋，善于思考。任何资料都是浮云，最重要的还是靠自己。

Answer 2

由于x1≥1，x2≥2，……，x2002≥2002，于是n≤1/1+2/2+……+2012/2012=2012记集合S=（x1，x2，x3，……，x2002），f(S)=1/X1＋2/X2＋…＋2012／X2012由于2012=2×2×503，即2012有1、2、4、503、1006和2012共6个因子。于是S=(1，2，3，……，2012)时，f(S)=2012S=(1×2，2×2，3×2，……，2012×2)时，f(S)=2012÷2=1006S=(1×4，2×4，3×4，……，2012×4)时，f(S)=2012÷4=503S=(1×503，2×503，3×503，……，2012×2)时，f(S)=2012÷503=4S=(1×1006，2×1006，3×1006，……，2012×1006)时，f(S)=2012÷1006=2S=(1×2012，2×2012，3×2012，……，2012×2012)时，f(S)=2012÷2012=1也就是说2012的所有6个因子1、2、4、503、1006和2012都是符合条件的n。接下来采用放缩法证明所有小于等于2012的数字都是符合条件的n。1.考虑S=(1，2，3，……，2012)的情形，此时f(S)=2012×1=2012将S中最后2个元素(也就是最大的两个，下同)同乘以2，得到S'=(1，2，3，……，2010，2011×2，2012×2)，此时f(S')=f(S)-1/2-1/2=2012-1=2011同理，将S中最后4个元素同乘以2，得到的f(S')=f(S)-1/2-1/2-1/2-1/2=2012-2=2010……将S中最后2010个元素同乘以2，得到的f(S')=f(S)-2010×(1/2)=2012-1005=1007于是1007～2012的每一个自然数都是符合条件的n2.考虑S=(1×2，2×2，3×2，……，2012×2)的情形，此时f(S)=2012×1/2=1006对S重复上述的过程，依次将S中最后4个元素同乘以2、最后8个元素同乘以2、……，最后2008个元素同乘以2，得到的f(S)分别为1006-1=1005、1006-2=1004、……、1006-2008×1/4=504于是504～1006的每一个自然数都是符合条件的n3.考虑S=(1×4，2×4，3×4，……，2012×4)的情形，此时f(S)=2012×1/4=503对S重复上述的过程，依次将S中最后8个元素同乘以2、最后16个元素同乘以2、……，最后2008个元素同乘以2，得到的f(S)分别为503-1=502、503-2=501、……、503-2008×1/8=252于是252～503的每一个自然数都是符合条件的n4.考虑S=(1×4，2×4，3×4，4×4，5×8，……，2012×8)的情形，此时f(S)=4×1/4+(2012-4)×1/8=252对S重复上述的过程，依次将S中最后16个元素同乘以2、最后32个元素同乘以2、……、最后2000个元素同乘以2，得到的f(S)分别为252-1=251、252-2=250、……，253-2000×1/16=128于是128～251的每一个自然数都是符合条件的n5.考虑S=(1×4，2×4，……，12×4，13×16，……，2012×16)的情形，此时f(S)=12×1/4+(2012-12)×1/16=3+125=128对S重复上述的过程，依次将S中最后32个元素同乘以2、最后64个元素同乘以2、……、最后1984个元素同乘以2，得到的f(S)分别为128-1=127、128-2=126、……，128-1984×1/32=66于是66～127的每一个自然数都是符合条件的n6.考虑S=(1×4，2×4，……，12×4，13×16，……，28×16，29×32，……，2012×32)的情形，此时f(S)=12×1/4+(28-12)×1/16+(2012-28)×1/32=3+1+62=66对S重复上述的过程，依次将S中最后64个元素同乘以2、最后128个元素同乘以2、……、最后1984个元素同乘以2，得到的f(S)分别为66-1=65、66-2=64、……，66-1984×1/64=35于是35～65的每一个自然数都是符合条件的n7.考虑S=(1×4，2×4，……，12×4，13×16，……，28×16，29×64，……，2012×64)的情形，此时f(S)=12×1/4+(28-12)×1/16+(2012-28)×1/64=3+1+31=35对S重复上述的过程，依次将S中最后128个元素同乘以2、最后256个元素同乘以2、……、最后1920个元素同乘以2，得到的f(S)分别为35-1=34、35-2=33、……，35-1920×1/128=20于是20～34的每一个自然数都是符合条件的n8.考虑S=(1×4，2×4，……，12×4，13×16，……，28×16，29×64，……，92×64，93×128，……，2012×128)的情形，此时f(S)=12×1/4+(28-12)×1/16+(92-28)×1/64+(2012-92)×1/128=3+1+1+15=20对S重复上述的过程，依次将S中最后256个元素同乘以2、最后512个元素同乘以2、……、最后1792个元素同乘以2，得到的f(S)分别为20-1=19、20-2=18、……，20-1792×1/256=13于是13～19的每一个自然数都是符合条件的n9.考虑S=(1×4，2×4，……，12×4，13×16，……，28×16，29×64，……，92×64，93×128，……，220×128，221×256，……，2012×256)的情形，此时f(S)=12×1/4+(28-12)×1/16+(92-28)×1/64+(220-92)×1/128+(2012-220)×1/256=3+1+1+1+7=13对S重复上述的过程，依次将S中最后512个元素同乘以2、最后1024个元素同乘以2、最后1536个元素同乘以2，得到的f(S)分别为13-1=12、13-2=11、13-3=10于是10、11、12也是符合条件的n10.考虑S=(1×4，2×4，……，12×4，13×16，……，28×16，29×64，……，92×64，93×128，……，220×128，221×256，……，476×256，477×512，……，2012×512)的情形，此时f(S)=12×1/4+(28-12)×1/16+(92-28)×1/64+(220-92)×1/128+(476-220)×1/256+(2012-476)×1/512=3+1+1+1+1+3=10将S中最后1024个元素同乘以2，得到的f(S)=10-1=9，于是9也是符合条件的n11.考虑S=(1×4，2×4，……，12×4，13×16，……，28×16，29×64，……，92×64，93×128，……，220×64，221×256，……，476×256，477×512，……，988×512，989×1024，……，2012×1024)的情形，此时f(S)=12×1/4+(28-12)×1/16+(92-28)×1/64+(220-92)×1/128+(476-220)×1/256+(988-476)×1/512+(2012-988)×1/512=3+1+1+1+1+1+1=9将S中第13项～92项同乘以2（此时依然符合x1＜x2＜……＜x2012的条件），则f(S)第13项～92项的和由(28-12)×(1/16)+(92-28)×1/64=2变为(28-12)×(1/32)+(92-28)×1/128=1，比原来减少了1，f(S)=9-1=8于是8也是符合条件的n12.仍然考虑S=(1×4，2×4，……，12×4，13×16，……，28×16，29×64，……，92×64，93×128，……，220×128，221×256，……，476×256，477×512，……，988×512，989×1024，……，2012×1024)的情形，此时f(S)=9将S中前12项同乘以3（由于12×4×3=144＜208=13×16，符合x1＜x2＜……＜x2012的条件），则f(S)前12项的和由12×(1/4)=3变为12×(1/4)÷3=1，比原来减少了2，f(S)=9-2=7于是7也是符合条件的n13.考虑S=(1×12，2×12，……，12×12，13×16，……，28×16，29×64，……，92×64，93×128，……，220×128，221×256，……，476×256，477×512，……，988×512，989×1024，……，2012×1024)的情形，根据第12步的结果此时f(S)=7将S中第13项～92项同乘以2（此时依然符合x1＜x2＜……＜x2012的条件），则f(S)第13项～92项的和由(28-12)×(1/16)+(92-28)×1/64=2变为(28-12)×(1/32)+(92-28)×1/128=1，比原来减少了1，f(S)=7-1=6于是6也是符合条件的n14.考虑S=(1×12，2×12，……，12×12，13×32，……，28×32，29×128，……，220×128，221×256，……，476×256，477×512，……，988×512，989×1024，……，2012×1024)的情形，根据第12步的结果此时f(S)=6将S中第13项～220项同乘以2（此时依然符合x1＜x2＜……＜x2012的条件），则f(S)第13项～220项的和由(28-12)×(1/32)+(220-28)×1/128=2变为(28-12)×(1/64)+(220-28)×1/256=1，比原来减少了1，f(S)=6-1=5于是5也是符合条件的n14.根据前边结论，当S=(1×503，2×503，3×503，……，2012×2)时，f(S)=2012÷503=4，将S中第1007项～2012项同乘以2，则f(S)第1007项～2012项的和由(2012-1006)×1/503=2变为(2012-1006)×1/503÷2=1，比原来减少了1，f(S)=4-1=3于是3也是符合条件的n综上，1～2012都是符合条件的n。