Question

幂级数x∧（n+1）的和函数

Answer 1

解：

设S(x)=∑[(-1)^(n+1)](n^2)x^n，则S(x)=x∑[(-1)^(n+1)](n^2)x^(n-1)=x∑[(-1)^(n+1)][nx^n]'，

又，∑[(-1)^(n+1)][nx^n]=x∑[(-1)^(n+1)]nx^(n-1)=x∑[(-1)^(n+1)][x^n]'，

而在其收敛域内，∑[(-1)^(n+1)][x^n]=x/(1+x)，

∴∑[(-1)^(n+1)][nx^n]=x[x/(1+x)]'=x/(1+x)^2，

∴S(x)=x[x/(1+x)^2]'=x(1-x)/(1+x)^3。

幂函数的性质：

一、当α为整数时，α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：

1、当α为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增。

2、当α为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增。

3、当α为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）。

4、当α为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。

二、当α为分数时，α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性：

1、当α>0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递增。

2、当α>0，分母为奇数时，若分子为偶数，函数在第一象限内单调递增，在第二象限单调递减；若分子为奇数，函数在第一、三象限各象限内单调递增。

3、当α<0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递减。

4、当α<0，分母为奇数时，函数在第一、三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）。

三、当α>1时，幂函数图形下凹（竖抛）；当0<α<1时，幂函数图形上凸（横抛）。

Answer 2

解：分享一种解法。【用“[.]'”表示求导】

设S(x)=∑[(-1)^(n+1)](n^2)x^n，则S(x)=x∑[(-1)^(n+1)](n^2)x^(n-1)=x∑[(-1)^(n+1)][nx^n]'，

又，∑[(-1)^(n+1)][nx^n]=x∑[(-1)^(n+1)]nx^(n-1)=x∑[(-1)^(n+1)][x^n]'，

而在其收敛域内，∑[(-1)^(n+1)][x^n]=x/(1+x)，

∴∑[(-1)^(n+1)][nx^n]=x[x/(1+x)]'=x/(1+x)^2，

∴S(x)=x[x/(1+x)^2]'=x(1-x)/(1+x)^3。

解析式法

用含有数学关系的等式来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做解析式法。这种方法的优点是能简明、准确、清楚地表示出函数与自变量之间的数量关系；缺点是求对应值时往往要经过较复杂的运算，而且在实际问题中有的函数关系不一定能用表达式表示出来。

以上内容参考：百度百科-函数

Answer 3

解：分享一种解法。【用“[.]'”表示求导】
设S(x)=∑[(-1)^(n+1)](n^2)x^n，则S(x)=x∑[(-1)^(n+1)](n^2)x^(n-1)=x∑[(-1)^(n+1)][nx^n]'，
又，∑[(-1)^(n+1)][nx^n]=x∑[(-1)^(n+1)]nx^(n-1)=x∑[(-1)^(n+1)][x^n]'，
而在其收敛域内，∑[(-1)^(n+1)][x^n]=x/(1+x)，
∴∑[(-1)^(n+1)][nx^n]=x[x/(1+x)]'=x/(1+x)^2，
∴S(x)=x[x/(1+x)^2]'=x(1-x)/(1+x)^3。
供参考。