Question

求2.80的详细解答，张宇1000题上的，但感觉答案是错的

Answer 1

解答：
令f(x)=(x2−1)lnx−(x−1)2；
显然有：f(1)=0；
又f′(x)=[(x2−1)lnx−(x−1)2]′=2xlnx+x2−1x−2(x−1)=2xlnx−x+2−1x
显然有：f′(x)=0；
又f′′(x)=(2xlnx−x+2−1x)′=2lnx+2−1+1x2=2lnx+1+1x2
显然有：f′′(1)=2；
f′′′(x)=2x−21x3=2(x2−1)x3；
显然有：f′′′(1)=0；
又有：当0<x<1时,f′′′(x)=2(x2−1)x3<0，
因此：f′′(x)在0<x<1单调递减；
又有：当x>1时,f′′′(x)=2(x2−1)x3>0，
因此：f′′(x)在x>1单调递增；
故f′′(x)在x=1上取得最小值,f″(x)min=f′′(1)=2>0，
因此：当x>0时,f′(x)单调递增。
又f′(1)=0；
所有：当0<x<1时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减；
当x>1时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增。
所以：f(x)在x=1上取得最小值；
f(x)min=f(1)=0；
因此：f(x)=(x2−1)lnx−(x−1)2⩾0；
即：(x2−1)lnx⩾(x−1)2.
命题得证。