Question

设函数f(x)=㏑x,g(x)=ax+b/x,函数f(x)的图像与x轴的交点也在函数g(x)的图像上,且在此点有公切线

1求a、b的值
2对任意x＞0,试比较f(x)与g(x)的大小

Answer 1

令f(x)=0 得到x=1, f(x) 和x周的交点是(1.0)
因为该点也在g(x)上,所以g(1)=a+b=0
对f和g 求导得到
f'=1/x ,在点(1.0) 的切线斜率是k=f'(1)=1
g'=a-b/x^2 ,在点(1.0)的切线斜率是k=g'(x)=a-b =1 (因为是公切线,所以斜率相同)

所以联立以上2个式子解得:
a=1/2
b=-1/2
所以g(x)=1/2x-1/(2x)

2.令t(x)=f(x)-g(x)=lnx-1/2x+1/(2x)
对t求导得到
t'= 1/x-1/(2x^2)-1/2= (2x-1-x^)/(2x^2) =-(x-1)^2/(2x^2) <=0
所以t 在定义域x>0 内 是递减的函数
因为当x=1时, t(0)=f(0)-g(0)=0
所以 当0<x<1 时,是大于0的, 也即f(x) >g(x)
当x>1时, 是小于0 的,也即 f(x)<g(x)

Answer 2

这个是高三单元滚动检测卷 数学 的第三编 导数及应用上的第19题 有买答案的，看了就知道了。