Question

如何证明tanx>x>sinx

Answer 1

解析：
0<x2时，tanx>x>sinx
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证明：
考虑函数f(x)=tanx-x(0≤x<π/2)
f'(x)
=1/cos²x-1
=(1-cos²x)/cos²x
=tan²x
≥0
∴ f(x)在[0，π/2)上单调递增
∴ f(x)≥f(0)
即，tanx-x≥0
显然，π/2>x>0时，tanx>x
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考虑函数g(x)=x-sinx(π/2>x≥0)
g'(x)
=1-cosx
≥0
∴ g(x)在[0，π/2)上单调递增
∴ g(x)≥g(0)
即，x-sinx≥0
显然，π/2>x>0时，x>sinx
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综上，
0<x2时，tanx>x>sinx