Question

∫sin(1/x)dx 不可积吗，为什么又说连续函数一定有原函数

Answer 1

如果sin(1/x) 连续，∫sin(1/x)dx 不是不可积，而是无法用初等函数表示其原函数。
习惯上，如果一个已给的连续函数的原函数能用初等函数表达出来，就说这函数是“积得出的函数”，否则就说它是“积不出”的函数。但是这里的“积不出”并不意味着原函数不存在。

Answer 2

但是这个函数不是连续函数啊，sin（1/x）在x=0点处，不是连续的。在x=0点处是无限震荡的间断点啊。这和连续函数的性质有啥关系？

追问

那为什么∫1/xdx=lnx呢，在x=0处不连续，却有原函数是什么情况？

追答

有无限震荡间断点和无穷间断点这种第二类间断点的函数，可能有原函数，也可能没有原函数。
所以，不能相互作为依据，说凭什么这个有，那个就无。只能具体函数具体分析。有或者无都是正常的。
连续函数一定有原函数，不可能没有。
有第一类间断点（可去间断点和跳跃间断点）的函数一定没有原函数。

追问

没错，又看了看发现是自己把两个东西混淆了。“连续函数一定有原函数”这个概念是非常局限的，不能拿出来套所有东西。其实它是从函数在区间可导的定义延伸出来的，因为函数在x=x0处可导的定义为：左可导且右可导且左右导相等，在区间（a,b）可导的定义为：在（a,b）内的每一点处都可导。所以原函数的导函数在（a,b）内必须是连续的，必须没有间断点。

Answer 3

原函数不存在不代表不可积