Question

几何证明问题

Answer 1

（1）
∵△ABC内接于⊙O，∴OB＝OC，又OD⊥BC，∴BD＝CD。
由BD＝CD、AD⊥BC，得：AB＝AC，而AB＝BC，∴AB＝BC＝AC，△ABC是等边三角形。
（2）
延长AD交⊙O于F。
∵AF是⊙O的直径，∴AP⊥FP，又AD⊥ED，∴AD/AE＝AP/AF＝cos∠DAE，
∴AD/x＝（x＋y）/AF。
∵AB＝1，∴AD＝√3/2，∴AO＋OD＝√3/2，∴AO＋（1/2）AO＝√3/2，∴AO＝√3/3，亩敏
∴AF＝2AO＝2√3/3，∴（√3/2）/x＝（x＋y）/（2√3/3），∴x（x＋y）＝1，∴y＝1/x－x。
显然，当E、D重合时，AE是最小的，此时AE＝AD＝√3/2。
又当E由D靠近C，或由D靠近B时，AE越来越大，而AB＝AC＝1。
∴要求的函数关系式是y＝1/x－x，自变量x的取值范围是［√3/2，1）。
（3）
显然，当∠PAC＋∠APC＝90°时兄耐兄，（sin∠PAC）^2＋（sin∠APC）^2＝1，
此时，PA⊥EP，羡袭∴此时点P在AD的延长线上，∴此时x＝AD＝√3/2。
即当x＝√3/2时，（sinα）^2＋（sinβ）^2＝1。