证明函数在定义域内连续
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函数定义域为x≠0
对任意x≠0，任意ε>0，总存在d=min{|x|,(ε*x^2)/(1+ε*|x|)}，当|△x|<d，有
|sin[1/(x+△x)]-sin(1/x)|
=2|cos{[1/(x+△x)+1/x]/2}sin{[1/(x+△x)-1/x]/2}|
<=2|sin{[1/(x+△x)-1/x]/2}|
<=2*|[1/(x+△x)-1/x]/2|
=|1/(x+△x)-1/x|
=|△x|/|x||x+△x|
=1/|x||x/△x+1|
<=1/[|x|*(|x|/|△x|-1)]
<1/[|x|*(|x|/d-1)]
<ε
所以y=sin(1/x)在x≠0上连续
对任意x≠0，任意ε>0，总存在d=min{|x|,(ε*x^2)/(1+ε*|x|)}，当|△x|<d，有
|sin[1/(x+△x)]-sin(1/x)|
=2|cos{[1/(x+△x)+1/x]/2}sin{[1/(x+△x)-1/x]/2}|
<=2|sin{[1/(x+△x)-1/x]/2}|
<=2*|[1/(x+△x)-1/x]/2|
=|1/(x+△x)-1/x|
=|△x|/|x||x+△x|
=1/|x||x/△x+1|
<=1/[|x|*(|x|/|△x|-1)]
<1/[|x|*(|x|/d-1)]
<ε
所以y=sin(1/x)在x≠0上连续
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