Question

一道解析几何

在x+y=8上取一点M，过M作于焦点在横轴上（c＝4根号3）双曲线共焦点的椭圆，则椭圆长轴最短时,求M的坐标。
谢谢！

Answer 1

解：

根据题意，椭圆的焦点是(0,±4√3)

可以设椭圆的方程为:x^2/a^2+y^2/b^2=1

∵M在x+y=8上也在椭圆上，

∴当椭圆长轴最短时，根据a^2=b^2+c^2，知短轴此时也是最短，

最短时直线x+y=8与椭圆相切，

把x+y=8带入椭圆方程，得

b^2x^2+a^2(8-x)^2=a^2b^2

(b^2+a^2)x^2-16a^2x+64a^2-a^2b^2=0……※

令判别式△=256a^4+4(a^2b^2-64a^2)(a^2+b^2)=0

64a^2+(b^2-64)(a^2+b^2)=0

a^2+b^2=64……①

又∵a^2-b^2=c^2=48……②

∴a^2=56，b^2=8

此时，椭圆方程是x^2/56+y^2/8=1

将a^2和b^2的值带回※式，化简整理得

x^2-14x+49=0

∴x=7，则M是(7,1)

∴M点坐标是(7,1)

谢谢

Answer 2

看着好简单，可是我忘了....