Question

这个不定积分怎么求解

Answer 1

解答如下图片：

Answer 2

∫1/(1+t^2)^2dt
=1/2∫1/[t(1+t^2)^2]dt^2
=-1/2∫1/td1/(1+t^2)
=-1/[2t(1+t^2)]+1/2∫1/(1+t^2)d1/t
=-1/[2t(1+t^2)]-1/2∫1/[t^2(1+t^2)]dt
=-1/[2t(1+t^2)]-1/2∫1/t^2-1/(1+t^2)dt
=-1/[2t(1+t^2)]+1/(2t)-1/2arctant+C

追问

划线步骤什么意思

可以手写吗？？

追答

换一个做法，看能不能看懂：

换元法,令t=tanu,则t²+1=sec²u,dt=sec²udu
∫1/(t^2+1)^2dt
=∫(1/sec⁴u)*sec²udu
=∫(1/sec²u)du
=∫cos²udu
=1/2∫(1+cos2u)du
=(1/2)u+(1/4)sin2u+C
=(1/2)u+(1/2)sinucosu+C
由t=tanu得：u=arctant,sinu=t/√(1+t²),cosu=1/√(1+t²)
=(1/2)arctant+(1/2)t/(1+t²)+C

追问

好的谢谢