Question

广义积分的计算题：计算之前要判断敛散性吗？或者说什么情况下一定要判断敛散性再去做题？

如题，①能不能不管什么广义积分，先给他积出来，然后上下限一套，有值的话就OK，没值的话说发散？
老师好像不管什么题都先判断个敛散性再去积分，除了判断不出来就直接去积。
②在什么情况下一定要判断敛散性？就不判断不能继续做题的那种？

Answer 1

你用的是cauchy 判别法（或比较判别法）：若  ( x^p)*{1/[x*(x^2+1)^(1/3)]} →c (x→∞)， 则当0<c<= ∞且p1时积分收敛。这里，乘x时，得 x*{1/[x*(x^2+1)^(1/3)]}→0 (x→∞)，  不能应用该判别法，因此得不出发散的结论的。

定积分的积分区间都是有限的，被积函数都是有界的。

但在实际应用和理论研究中，还会遇到一些在无限区间上定义的函数或有限区间上的无界函数，对它们也需要考虑类似于定积分的问题。因此，有必要对定积分的概念加以推广，使之能适用于上述两类函数。这种推广的积分，由于它异于通常的定积分，故称之为广义积分，也称之为反常积分。

Answer 2

首先，你要明白广义积分有哪些形式： 1，被积函数有瑕点 2，上下限无界那么在第二种情况下，其实细分开来有有两种情况，在这一题里面，只有上限无界，而且在积分区域中没有瑕点，所以求出原函数可以直接带点进去计算；还有种情况，就是你说的要判断是否收敛的情况了，我举个例子你就知道了，∫xdx，从-∞到+∞，这个积分显然是发散的，因为在0到∞上是发散的，另一个区间也是这样，只有两个区间上都收敛那么才收敛，懂了吗？若有不懂请追问哦~