Question

f(x)=lnx+a/x若f(x)有两个不同零点x1 x2,且x1＜x2求证 x1+2x2＞3/e

如题，一道高三数学证明题。

Answer 1

• f(x)=lnx+a/x 定义域x>0

  f'(x)=1/x-a/x²=(x-a)/x²  有两个不同的零点→必存在极值点x=a→a>0

  驻点x=a 左-右+为极小值点，且极小值f(a)=lna+1<0→a<1/e

  x∈(0,a) f(x)单调递减 x∈(a,+∞) f(x)单调递增

  显然x₁在a的左侧，x₂在a的右侧→x₁<a x₂>a

• f(x₁)=f(x₂)=0

  令x₁=a-d 0<d<a

  f(a-d)=ln(a-d)+a/(a-d)=0

  f(a+d)=ln(a+d)+a/(a+d)
  

  令g(d)=f(a-d)-f(a+d)=ln[(a-d)/(a+d)]+a/(a-d)-a/(a+d)

  g'(d)=[(a+d)/(a-d)]·[-(a+d)-(a+d)]/(a+d)²+a/(a-d)²+a/(a+d)²

  =-2d/[(a-d)(a+d)+a/(a-d)²+a/(a+d)²

  =[-2d(a-d)(a+d)+a(a+d)²+a(a-d)²]/[(a-d)(a+d)]²

  =[-2a²d+2d²+2a³+2ad²]/[(a-d)(a+d)]²

  ∵a>d→-2a²d+2a³=2a²(a-d)>0→g'(d)>0

  ∴g(d)为增函数→g(d)>g(0)=0→f(a+d)<f(a-d)=0=f(x₂)

  x∈(a,+∞) f(x)单调递增→a+d<x₂→a-d+a+d=2a<x₁+x₂

  又∵x₂>a

  ∴x₁+2x₂>2a+a=3a>3·1/e=3/e

  

Answer 2

首先证明a＞1/e。利用函数单调性
再图像法证明根在1/e的两边分布情况。具体晚上写给你

追答

f'（a）=0,结合有两个零点，推出f（a）＞0。

说反了，f(a)＜0

先减后增函数

Answer 3

已知函数f(x)=lnx+x2-ax（a∈R）若函数f（x）有两个极值点x?x?且x∈(0,1]证明f（x?）-f（x?）≥-3÷4+ln2

追问

。。。？

Answer 4

先采纳