Question

判断分段函数在某点是否可导为什么还要讨论是否连续？还有为什么一定

判断分段函数在某点是否可导为什么还要讨论是否连续？还有为什么一定要用导数定义判断左右导数，直接用导数运算公式不可以吗？

Answer 1

可导=>连续，逆反命题为不连续=>不可导，因此如果判断出该点不连续，那就不用再往下计算了，肯定是不可导的。如果连续，那么接下来可以用导数定义或者导数运算公式计算左右导数。
如果不考虑连续性而贸然使用导数运算公式计算左右导数，可能导致错误的结论，举个例子你自己实验一下：

追问

为什么有些选择题判断分段函数在某点是否可导解释时只说左导数等右导数，又不用讨论有没连续呢？

追答

因为左右导数是用导数定义式计算出来的，此时左右导数相等必然连续。你之前说的直接求导的方法求的是导数的左右极限，此时需要增加连续的条件。

追问

可是有道题是先判断在某点有没连续，然后又用定义来判断在某点有没可导

追答

那也没有错啊，你觉得这样做有什么不合适么？

追问

为什么第五道不用讨论在0点有没有连续呢?

追答

因为左导数等于右导数的话直接可以判定可导和连续。

这两个不冲突啊：你可以直接计算左右导数看是否相等；也可以先判断是否连续，如果不连续就不用再计算左右导数了；如果连续就再计算左右导数。

这只是策略问题

Answer 2

这个分段函数在断点处是不可导的!虽然左面的导数等于右边的导数，但是这不是同一点! 只有在同一点处 左面的导数等于右面的导数才可以确认在这一点有导数也就是有切线!你看看在这两个点处是不是画出来两条切线了?那么这两条切线肯定不重合 !所以在断点处肯定画不出切线 !所以在断点处不可导