Question

高一数学 已知函数f（x）是R上的奇函数，且f（x＋1）为偶函数

已知函数f（x）是R上的奇函数，且f（x＋1）为偶函数．为什么f（x+1）=f（-x+1） 而不是=f（-x-1）

Answer 1

• 举一个特殊的例子，便于理解：

  f(x)=(x-1)²→f(x+1)=x²是偶函数。显然f(-x)=(-x-1)²→f(-x+1)=(-x-1+1)²=x²=f(x+1)

• y=f(x+1)的自变量还是x，u=x+1为中间变量（f(x+1)应该看成是复合函数），y为因变量。y=f(x+1)的图像是y=f(x)向左平移一个单位后得到的，平移后为偶函数，对称轴变为x=0，即平移前y=f(x)是关于x=+1对称的函数。

  [x+1+(-x+1)]/2=1,而[x+1+(-x-1)]/2=0,对称轴变成y轴了→f(x)是偶函数，显然就不对。