Question

请问这题极限该怎么求？

请问这题极限该怎么求？如果是用等价无穷小替换，如何证明ln(1+fx/sinx)趋近于0呢？谢谢！求热心网友帮帮忙~

Answer 1

因为分母为0，得出f(x)/sinx=0

洛必达法则求导，f(x)/sinx近似f(x)/x
分子求导=1/[1+f(x)/x]*[f(x)'x-f(x)]/x^2=[f(x)'x-f(x)]/x^2=-f(x)/x^2=2ln2
分母求导=2^xln2=ln2
得出f(x)/x^2=-2ln2

追问

请问为什么可以分母为0，得出f(x)/sinx=0

追答

因为只有ln1=0，才符合极限0/0型

追问

那我可以理解为，只有那几种类型的极限构造，才有可能产生极限吗？

追答

如果分子不为0，那么极限就不可能为常数了，那么极限为无穷大

Answer 2

如图所示。

追答

追问

请问为什么分母趋近于0则分子也趋近于0呢谢谢！

追答

极限存在，分母趋近0，分子也要趋近0，构成0/0，

0/0未定型，才可能会有极限存在，分子不趋近0，极限为∞，与2矛盾。

不知道有没有算错，分析过程是对的

追问

那我可以理解为，只有那几种类型的极限构造，才有可能产生极限吗？

追答

7种未定型

对的

追问

这个结论真的很值得思考…数学书上好像都没有类似的总结呢

追答

不，在无穷小的问题上有说，只是你们不太理解它们是什么意思。

追问

是不是因为其极限为常数2，故而分子分母两者为同阶无穷小，因为分母为0为了形成同阶无穷小，分子也要为零？

追答

对的