抱歉哈,回复的有点晚,
想给你分析下这道题,题中有几点要清楚,首先对其说给条件函数的理解,
sgn 函数,当x<0时,sgn(x) = -1;当x=0时,sgn(x) = 0;当x>0时,sgn(x)=1
f(x)函数是增函数,增函数是什么,增表示后一个数永远比前一个数要大,
可以表示为f(x + 1)>f(x),这样表示可以看懂吧
还给出了一个等式g(x)=f(x)-f(ax) (a>1),
而再看看下面的四个选项,选项中主要是关于sgn函数的等式和判断,所以你要判断sgn函数,就要判断它的x的范围,也就是>0,<0或者=0的判断。
ABCD选项中有sgn[g(x)] 这样的写法,sgn [g(x)] 和 sgn (x)是表示同一个函数的,只是其中的变量换了,上面刚刚说判断x的范围,那现在要判断的g(x)的范围了。
现在再陆续判断三个函数f(x),g(x),sgn(x)
f(x)为增函数,f(x)<f(x+1)或者表示为f(x)<f(y),其中x<y;
g(x)=f(x)-f(ax) (a>1),因为a>1,当一个正数乘以一个大于1的数时,这个数会增大,故x>0时,x<ax;当一个负数乘以一个大于1的数时,这个数会减小,故x<0时,ax<x;
根据f(x)中的表示,所以当x>0时,x<ax故f(x)<f(ax),那么这时g(x)就小于0;
当x>0时,x>ax故f(x)>f(ax),那么这时g(x)就大于0;
当x=0时,x=ax故f(x)=f(ax),那么这时g(x)就等于0。
所以综上述所得:x<0时,sgn(x)=-1,g(x)<0,f(x)未知但是f(x)<f(x+1);
x>0时,sgn(x)=1,g(x)>0,f(x)未知但是f(x)<f(x+1),
所以当x<0时,sgn[g(x)] 其中g(x)<0,所以sgn[g(x)]=-1,sgn(x)=-1,故sgn[g(x)]=sgn(x)
而当x>0时,sgn[g(x)] 其中g(x)>0,所以sgn[g(x)]=1,sgn(x)=1,故sgn[g(x)]=sgn(x)
A正确,B错误
因f(x)判断不了正负,所以sgn[f(x)]的值也不能确定,
故不能判断sgn[g(x)] = sgn[f(x)]和sgn[g(x)] = -sgn[f(x)]
所以C和D错误。
以上便是此题之解。
重点:sgn函数的值主要是由x的取值范围决定的,
了解到sgn[g(x)]中g(x)其实就相当于sgn(x)中的x,
知道增函数的定义,
从已知条件找到自己所需要的重点。(题中我所需要的是g(x)的取值范围)
以上便是第一题的思路。