Question

高数，谁能帮我看看这个微分方程怎么求。谢谢了呢 y'' + y/x = 0 以及 y + x^2*y'' = 0

Answer 1

1、y''+y/x=0
方程的通解无法用初等函数表出
2、y+x^2*y''=0

设y=x^k是方程的解，则y'=kx^(k-1)，y''=k(k-1)x^(k-2)
x^k+k(k-1)x^k=0
k^2-k+1=0
(k-1/2)^2=-3/4
k-1/2=±i√3/2
k=1/2±i√3/2
所以y1=x^(1/2+i√3/2)
=√x*x^(i√3/2)
=√x*e^(lnx*i√3/2)
y2=x^(1/2-i√3/2)
=√x*x^(-i√3/2)
=√x*e^(-lnx*i√3/2)
所以通解为y=√x*[C1*cos(lnx*√3/2)+C2*sin(lnx*√3/2)]，其中C1,C2为任意常数

追问

谢谢你呢，还有第一个方程的一个特解是lnx。你知道怎么求吗

追答

那肯定是你题目写错了
应该是y''+y'/x=0吧~