Question

已知f(x)的原函数为(1+sinx)lnx,求∫(上π下π/2)f'(x)dx

如图

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

f(x)的原函数为(1+sinx)lnx,
所以f(x)=cosxlnx+(1+sinx)/x,
f'(x)=-sinxlnx+2cosx/x-(1+sinx)/x^2
所以∫<π/2，π>xf'(x)dx
=∫<π/2，π>[-xsinxlnx+2cosx-(1+sinx)/x]dx
=(xcosxlnx+2sinx-lnx-sinxlnx)|<π/2，π>
-∫<π/2，π>[cosx(lnx+1)-cosxlnx]dx
=-πlnπ-lnπ-2-2ln(π/2)-sinx|<π/2，π>
=2ln2-(π+3)lnπ-1.
仅供参考。

Answer 3

∫xf'(x)dx
=∫xd(f(x))
=x·f(x)-∫f(x)dx
=x·[cosxlnx+(1+sinx)/x]-(1+sinx)lnx+C
∴定积分=[xcosxlnx+1+sinx-(1+sinx)lnx]|(½π,π)
=-πlnπ+1-lnπ-(2-2lnπ)
=(1-π)lnπ-1

Answer 4

第五十六回 吴用使时迁盗甲 汤隆赚徐宁上山