Question

求极限的两个基础的小问题，谢谢

（1）
如果有一项代入x趋向的那个值之后是个具体的数，就可以先代入计算出来，无论这一项与其他的项之间是加减还是乘除，是吗？
如果是乘除我知道可以，但是如果是加减呢，就比如说 (a+b)/(c+d) 假设把x趋向的那个值代入a b c d 四项，结果a和c是无穷大，b和d是一个具体的数，假设是2和3，那就可以先把b和d算出来，写成(a+2)/(c+3) 吗？暂且不管这样再往下计算方不方便，就从对错上说对还是不对呢？
（2）
极限的四则运算法则，是说f(x)和g(x)的极限必须都存在，有一个不存在就不能用呢？还是说只要不是未定式就可以了？
比如说一个分式，分项写成 f(x)+g(x)，代入x后算出f(x)的极限是无穷大，这是极限不存在吧，g(x)的极限是2，那可不可以得出这个分式的极限是 无穷大+2=无穷大，还是说因为f(x)的极限不存在所以这个分式不能这样分项必须从头用别的方法重新做？
谢谢，非常感谢！
安克鲁 11:36:25
因为我们平时所说的无穷大有时是正，有时是负，正无穷大与负无穷大可能抵消。如果是两个正无穷大相加，结果肯定是正无穷大。如果是两个负无穷大相加，结果肯定是负无穷大
也就是说，如果所说的无穷大是指正无穷大，那么 无穷大+无穷大=无穷大，既然能定出结果是无穷大，就不是不定式。
不定式是指：不能确定是具体数，还是无穷大
如果能确定是具体数，或正无穷大，或负无穷大，就不算不定式
一正一负，可能抵消，可能抵消不了。要看无穷大的阶。
如X趋向于无穷大，X的平方也趋向于无穷大，相减时抵消不了，如果能确定能抵消，就是定式，如果能确定抵消不了，也是定式，无法确定，才是不定式
不定式，不定式，是无法确定它究竟是定数，还是无穷大，无法确定时才为不定式
只要能够确定，无论是什么数，还是无穷大，都是定式

Answer 1

(1)如果有一项代入x趋向的那个值之后是个具体的数，就可以先代入计算出
来，无论这一项与其他的项之间是加减还是乘除，是吗？
【答】：是的。

如果是乘除我知道可以，但是如果是加减呢，就比如说 (a+b)/(c+d) 假设把x
趋向的那个值代入a b c d 四项，结果a和c是无穷大，b和d是一个具体的数，
假设是2和3，那就可以先把b和d算出来，写成(a+2)/(c+3) 吗？暂且不管这样
再往下计算方不方便，就从对错上说对还是不对呢？
【答】：理论上没有问题，事实上一般不这样做。
这样做显得太急躁、太沉不住气、太孩子气。
无论分子分母同除以a或是c，或用罗毕达法则，b和d对极限的影响都没有了。

（2）极限的四则运算法则，是说f(x)和g(x)的极限必须都存在，有一个不存在
就不能用呢？还是说只要不是未定式就可以了？
【答】：只要不是未定式(不定式)就可以各算各的极限。
加、减、乘、除，会有抵消的情况发生。所以，要判断是否是未定式。

比如说一个分式，分项写成 f(x)+g(x)，代入x后算出f(x)的极限是无穷大，这是极限不存在吧，g(x)的极限是2，那可不可以得出这个分式的极限是 无穷大+2=无穷大？
【答】：当然是这样。

还是说因为f(x)的极限不存在所以这个分式不能这样分项必须从头用别的方法重新做？
【答】：也可以这么说：“极限不存在”。不必从头开始，再从头还是一样。
原因是：我们说极限不存在，有时是指算不出，如左右极限不等；
有时是无穷大。但是，我们有时又将无穷大作为极限。
这是我们系统性问题，没有严格处理所致。

楼主提问的问题，不是楼主出了问题，而是楼主找到了我们理论的系统性问题。

好好加油，微积分理论肯定要完善，完善的工作要靠及其严谨思维的人解决！

Answer 2

第一个问题：这个问题的核心是连续性。有了连续性才有了极限和可微的概念，极限后面是一个整体，如果你的趋近在后面的连续区间内就可以带入了，这里有一个问题，就是你说的lim(a+b)/(a-b))是否可以拆成lima/(a+b)+limb/(a+b)呢？我建议你在连续性没掌握好的情况下，不要拆，作为整体来做比较好。另外上下都趋于无穷大时，你可以用罗比达法则，也可以看阶数，就是在级数中常用到的那种方法，看谁趋向无穷大更快一些。
第儿个问题：如果你趋近的值同时在f(x)和g（x）的连续区间内，你就可以用“抓大头”的方法，来看无穷大+有限值=无穷大；如果不同时在连续区间内一定要用别的方法做。
个人浅见，见笑。