Question

高中解析几何，急，，，

抛物线C1:x^2=-2y与抛物线C2:(x-1)^2=Y-1,若椭圆满足长轴的两端点A,B在C1，C2上运动，且长轴平行于y轴，又知椭圆长轴长是焦距的2倍，求长轴AB最短时椭圆的方程

Answer 1

你好，此题挺简单的。

解：

抛物线y²=2px,的参数方程可以设为(2pt²,2pt),t是参数。

容易知道x²=-2y的图像在x轴下方，开口向下，(x-1)²=y-1的图像在x轴上方，开口向上，则

可设x²=-2y上一点A(-2n,-2n²),n是参数，

可设(x-1)²=y-1上一点B(m+1,m²+1),m是参数，

由题意，A和B的横坐标相等，AB的长度就是两点纵坐标的差，从前边分析，知B在x轴上方，A在x轴下方，

所以问题可以转化已知m+1=-2n,求AB=m²+1-(-2n²)=m²+2n²+1的最小值，

m=-2n-1,

∴m²+2n²+1
=(-2n-1)²+2n²+1
=2*(3n²+2n+1)
≥2*2/3
=4/3

即AB的最小值为4/3，2a=4/3,

此时m=n=-1/3，AB的中点坐标（即椭圆的中心）为(2/3,4/9)，

由题意，2a=2*(2c),即a=2c，

∴c=a/2=1/3,

∵a²=b²+c²，

∴b²=1/3，a²=4/9,

∴椭圆的方程为：

(x-2/3)²/(1/9)+(y-4/9)²/(4/9)=1,

即：9(x-2/3)²+9(y-4/9)²/4=1,

谢谢！

Answer 2

恩，同样，其实方法单调，没什么意思，也没难度，就是繁了点，多做就简单了，别怕，这不会成为高考重点的！

Answer 3

∵点A在C1：x²= - 2y上，∴可设点A的坐标为（x1，y1），则y1= -x²/2，（y1≤0）；
∵点B在C2：（x-1）²= y-1上，∴设点B的坐标为（x2，y2），则y2= (x2-1)²+1，（y2≥1）.
由题意，椭圆的长轴AB垂直于x轴，
∴设x1=x2=t，t∈R，
长轴长|AB|=|y1-y2|=y2-y1=(t-1)²+1+t²/2=[3(t-2/3)²/2]+4/3.
∴当t=2/3时，|AB有最小值4/3，
此时，A（2/3，-2/9），B（2/3，10/9），
所以椭圆的中心为AB的中点（2/3，4/9），长轴长为4/3，
又椭圆的长轴长是焦距的2倍，∴焦距=2/3，短轴长=（2√3）/3.
∴椭圆的方程为3（x-2/3）²+9(y-4/9) ²/4=1.

Answer 4

解：因长轴与y轴平行，故可设长轴所在的直线方程为x=t,(t∈R).又直线x=t与两抛物线的交点即长轴的两端点，故长轴的两端点为(t,-t²/2),(t,(t-1)²+1).∴由“两点间距离公式”得长轴2a=(t-1)²+1+(t²/2)=(3t²/2)-2t+2.∴当t=2/3时，（2a)min=4/3.∴a=2/3,c=1/3.b=(√3)/3.此时长轴的两端点为(2/3,-2/9),(2/3,10/9).∴该椭圆中心为(2/3,4/9).∴椭圆方程为[3(x-2/3)²]+[9(y-4/9)²/4]=1.